При гидродинамическом моделировании карбонатных коллекторов, представляющих собой трещинно-поровую структуру, часто используется модель одинарной среды, которая не учитывает задание в гидродинамической модели (ГДМ) параметров системы трещин как отдельного вида пустотного пространства. Свойства пласта карбонатного коллектора в таких ГДМ с одинарной средой являются осредненными свойствами пор и трещин. В проектных документах по разработке в разделе, посвященном характеристикам продуктивного пласта, свойства образца керна, как правило, являются доминирующими и поэтому в большей степени определяют свойства матрицы (пустотного пространства межзернового типа) карбонатного коллектора. В связи с этим свойства трещинной системы остаются неопределенными. При этом, как отмечено в работе [1], сжимаемость трещин в коллекторах с естественной трещиноватостью может в 10–100 раз превосходить сжимаемость межзерновой (поровой) матрицы. Это приводит к тому, что при построении ГДМ,
представленной одинарной средой, возникают затруднения с корректным определением сжимаемости.
В данной работе рассматривается задача снижения неопределенности в значениях сжимаемости и пористости системы трещин карбонатного коллектора при создании ГДМ, учитывающей исходную трещиновато-поровую природу коллектора.

В современных гидродинамических симуляторах используется модель линейно-упругой деформации порового пространства. Изменение пористости в этом случае вычисляется исходя из значений сжимаемости объема пор и порового давления, горное давление при этом предполагается
постоянным [1–5]:

где C_pp — сжимаемость объема пор при изменении порового давления, m — пористость продуктивного пласта, P_p — поровое давление со стороны флюида.

Следует отметить, что в работах [6–8] выделяют два объема (объем пласта и объем пор) и два давления (всестороннего внешнего сжатия горной породы и внутрипоровое со стороны флюида), которые можно варьировать. В связи с этим деформация пористой породы может быть описана четырьмя различными типами сжимаемости [5, 6]. В каждой из этих двух сжимаемых сред (пласт в целом и общее пустотное пространство пласта) изменения либо объема пор V_p, либо объема образца горной породы V_b связаны с изменениями порового давления Pp или всестороннего давления сжатия P_с. При их описании используются обозначения, в которых первый индекс указывает на соответствующее изменение объема, а второй — на изменяющееся давление: C_bc — сжимаемость объема породы при изменении всестороннего давления, C_bp — сжимаемость объема породы при изменении порового давления, C_pc — сжимаемость объема пор при изменении всестороннего давления, C_pp — сжимаемость объема пор при изменении порового давления (1).

В данной статье рассматривается разработка месторождения на естественном режиме, при котором изменение объема пор происходит при изменении порового давления. Поэтому в дальнейшем для простоты изложения, если в формуле используется только сжимаемость вида C_pp, то обозначать ее будем через C. В случае если формула содержит и другие типы сжимаемостей
(например, C_bc, C_bp, C_pc), то соответствующие индексы проставляются у всех типов сжимаемостей.
Интегрируя уравнение (1) и разлагая получившуюся экспоненциальную зависимость пористости от давления в ряд Тейлора [8]
до линейного члена, получим известную формулу, при выводе которой вводится допущение, что при незначительном изменении давления сжимаемость не претерпевает заметных изменений и, следовательно, считается константой [9]:

где m_o, m — пористость элемента породы, соответственно, при p_o — опорном давлении флюида в пласте (давление, при котором определена пористость mo) и некотором текущем давлении р (давлении на текущий момент времени).
Оценим погрешность отбрасываемых членов в ряде Тейлора. Порядок значения каждого последующего члена в разложении уменьшается как минимум на величину C∙(p–p_o).
Порядок значения сжимаемости — C для межзерновых пор породы (матрицы) на практике не превышает 10^-3 МПа^-1 [10], а для вторичных пустот (системы трещин) — менее 10^-1 МПа^-1 [1]. Порядок разности (p–p_o) не превышает 10 МПа (если в качестве опорного давления используется атмосферное давление и принимая во внимание, что начальное пластовое давление месторождений углеводородов, как правило, менее 100 МПа).
Таким образом, порядок величины C∙(p–p_o) составляет менее 10^-2 для межзерновых пор породы и менее 100 для пустотного пространства трещин. Если же рассматривается период разработки месторождения, при котором снижение давления составляет менее 10 МПа, а в качестве p_o — опорного давления используется пластовое давление залежи на конец рассматриваемого периода, то порядок величины C∙(p–p_o) для межзерновых пор и трещин может оказаться менее 10^-3 и 10^-1 соответственно. Следовательно, при применении формулы (2) для межзерновых пор погрешность составит менее 0,001 % и 10 % для пустотного пространства трещин.
Если рассматривать карбонатные пласты-коллекторы со сжимаемостью трещин в диапазоне, не превышающем 10^-2 МПа^-1, то погрешность при использовании уравнения (2) для вычисления пористости пустотного пространства трещин составит уже менее 1 %.
Перейдем теперь к представлению общего пустотного пространства трещиновато-порового коллектора моделью одинарной среды, но с учетом и матричной, и трещинной пустотности. Другими словами, в модели одинарная среда эквивалентна некоторой эффективной среде, физические параметры которой представляют усредненные значения поровой матрицы и системы трещин. При этом такая модель эффективной (одинарной) среды должна в точности описывать энергетическое состояние залежи полноценной модели двойной среды при воспроизведении процесса разработки залежи.

Очевидно, что объем суммарного пустотного пространства эффективной (одинарной) среды равняется суммарному объему пустотных пространств поровой матрицы и системы трещин (компонент полноценной модели двойной среды). Поэтому «эффективная» пористость (пористость одинарной среды) может быть выражена формулой:

где m^эфф, m^мат, m^тр — соответственно пористость эффективного пустотного пространства трещиновато-поровой породы, поровой матрицы и системы трещин при давлении p.

Подставляя зависимость (2) в формулу (3), получим следующее соотношение:

где m_o^эфф, m_o^мат, m_o^тр — соответственно пористость суммарного пустотного пространства трещиновато-поровой породы (эффективная пористость), поровой матрицы и системы трещин при опорном давлении po; C_эфф, С_мат, С_тр — сжимаемость (эффективная) общего пустотного пространства трещиновато-поровой породы, поровой матрицы и системы трещин.

Формулу (4) можно преобразовать к виду:

где α_мат и α_тр — соответственно объемные доли пустотного пространства породы поровой матрицы и системы трещин:

Так как формула (4) была получена на основе формулы (2), то можно утверждать, что формула (5) тем точнее, чем меньше разность между текущим давлением p и опорным давлении р_о.
Формулы (5) и (6) удобно использовать для определения стартовой точки и диапазона наиболее вероятных значений сжимаемости системы трещин в зоне дренирования скважин на этапе предварительной адаптации ГДМ [11].

Оценим достоверность полученных формул (5) и (6). В работе [2] приводится экспериментальная оценка пористости и сжимаемости общего пустотного пространства трещиновато-порового коллектора и двух его составляющих компонент (межзерновой и трещинной пустотности) в зависимости от величины эффективного давления (разности горного и порового давления). Результаты этой экспериментальной оценки, проведенной на 34 образцах, в работе [2], представлены в таблице 1. Воспользуемся этими результатами для проверки адекватности
формул (5) и (6).

В качестве исходных параметров таблицы 1 используются значения общей, межзерновой и трещинной пористости от эффективного давления и сжимаемости для межзернового и трещинного пустотного пространства. Определяемым значением по формуле (5) будет общая (эффективная) сжимаемость пустотного пространства для различных значений эффективного давления.
Следует отметить, что экспериментальные значения сжимаемости С_рc были получены в работе [2] изменением давления сжатия при постоянном поровом давлении. В отличие от этого сжимаемость С_рр, определяемая по формуле (5), характеризует процесс снижения порового давления флюида при постоянном горном давлении, что в большей степени соответствует процессу разработки месторождения на истощение. В связи с этим экспериментальную сжимаемость при постоянном поровом давлении С_рc необходимо пересчитать в сжимаемость при снижении порового давления С_рр согласно следующей формуле, приведенной в работе [6]:

где С_рр — сжимаемость объема общего пустотного пространства при изменении порового давления, C_pc — сжимаемость объема общего пустотного пространства при изменении горного давления, С_m — сжимаемость твердой фазы горной породы.
Сравнения значений общей сжимаемости С_рр, вычисленной по формуле (7) при экспериментально определенных С_рс и С_ск (табл. 1), и значений С_рр, определенных по формуле (5), представлены на рисунке 1.

Графики на рисунке 1 указывают на достаточно хорошее приближение рассчитанных по формуле (5) значений общей сжимаемости Срр к значениям этого же параметра, полученным в результате эксперимента [2].

При этом нельзя однозначно утверждать, что отклонения расчетных значений от экспериментальных определяют погрешность формулы (5) при расчете значений сжимаемости, т. к.
экспериментальные значения могут содержать погрешность, вызванную, например, ограниченной точностью измерительных приборов, методологией проведения эксперимента и т. п. Важно, что расчетные значения повторяют тренд экспериментальных значений (рис. 1) и имеют незначительные как абсолютные, так и относительные отклонения (табл. 2).

Анализируя данные таблицы 2 и графики на рисунке 1, можно также заметить, что большим значениям общей сжимаемости соответствует меньшая относительная ошибка. Данное обстоятельство можно пояснить тем, что эксперимент проводился по сжатию (увеличению эффективного давления) исследуемого образца, при котором могли происходить его деструктивные изменения.
Для повышения степени обоснованности предлагаемой формулы (5) можно выполнить расчеты на гидродинамических моделях различных залежей. Расчеты предлагается проводить с привлечением моделей двойной (полноценной) и одинарной (эффективной) сред. Как отмечалось выше, модель двойной среды основана на представлении пласта-коллектора двумя типами пустотного пространства: поровой матрицей и системой трещин, а модель одинарной среды представлена одним типом — общим (эквивалентным) пустотным пространством. Исходными параметрами являются сжимаемости поровой матрицы и трещин, а оцениваемым параметром — эффективная (общая) сжимаемость пустотного пространства С_эфф, определяемая по формуле (5).
Также следует отметить, что для месторождений, разрабатываемых на естественных режимах, формула (2) описывает процесс уменьшения величины пористости по мере снижения пластового давления. В связи с чем необходимо, чтобы модель эффективной (одинарной) среды воспроизводила процесс уменьшения пористости общего пустотного пространства в точности как и на полноценной модели двойной (трещиновато-поровой) среды. При этом левая и компоненты правой части формулы (3) будут уменьшаться по-разному при снижении пластового давления из-за различия в значениях сжимаемости. В этом случае эквивалентная модель одинарной среды является тождественной полноценной модели двойной среды, если будет выполняться равенство:

где m_t^эфф, m_t^мат, m_t^тр — соответственно пористость суммарного пустотного пространства трещиновато-поровой породы (эффективная пористость), поровой матрицы и системы трещин при снижении пластового давления на текущий момент времени t.

Очевидно, что чем больше снижается пластовое давление, тем больше будет снижение пористостей левой и правой частей формулы (8).
Чтобы не проверять на эквивалентных моделях формулу (8) для всего диапазона снижения пластового давления, необходимо и достаточно выполнение формулы (8) при максимально и минимально возможном с теоретической точки зрения пластовом давлении, то есть при начальном пластовом и атмосферном давлениях. Другими словами, если пустотное пространство эквивалентных друг другу моделей одинарной и двойной среды равны между собой при максимально теоретически возможном изменении пористости пустотного пространства (при изменении давления от начального до атмосферного), то их пустотное пространство равно и при меньшем изменении пористости пустотного пространства, а, следовательно, модели одинарной и двойной среды эквиваленты друг другу по энергетическому состоянию залежи при любом снижении пластового давления, и формула (5) верна.
Так как в гидродинамических симуляторах пластовое давление является задаваемым параметром, а расчетными параметрами являются запасы углеводородов, то оценка обоснованности формулы (5) сводится к сравнению запасов нефти на моделях двойной среды (система трещин и поровая матрица) и одинарной среды (общая пустотность). При этом в обоих типах моделей пористость будет задаваться при атмосферных условиях. Тогда в последующем, при приведении модели к пластовым условиям, симулятор в обоих типах моделей будет пересчитывать значения пористостей для пластовых условий и, соответственно, влиять на величину запасов нефти.

Для этого предлагается следующая процедура. Прежде всего, для опорного давления, равного атмосферному, задаются значения пористости матрицы и системы трещин случайным образом в диапазонах 0,1–0,3 д.е. и 0,001–0,05 д.е. соответственно. Также задаются значения сжимаемости матрицы и системы трещин случайным образом в диапазонах 10-5–10-4 МПа^-1 и 10-4–10-3 МПа^-1 соответственно. Указанные диапазоны являются характерными для практики проектирования разработки залежей нефти [1, 2, 10, 12–15]. Далее вычисляется эффективное (общее) значение пористости в модели одинарной среды для опорного давления, равного атмосферному (формула (8)).
Затем по формулам (5) и (6) определяется эффективное (общее) значение сжимаемости в модели одинарной среды. Обе модели (одинарной и двойной среды) запускаются на инициализацию в гидродинамическом симуляторе, после чего выполняется сравнение запасов нефти в одной и другой моделях залежи, то есть одной реализации свойств трещиновато-порового пласта соответствует одна пара эквивалентных друг другу гидродинамических моделей. При этом чем меньше окажется расхождение запасов нефти по двум типам моделей, тем будет выше степень обоснованности принятых допущений при выводе формулы (5) и ее применимости для определения сжимаемости системы трещин при известном значении сжимаемости поровой матрицы и значении эффективной (общей) сжимаемости пустотного пространства пласта, найденном в процессе адаптации модели одинарной среды.
На рисунке 2 для 100 различных реализаций возможных свойств трещиновато-порового пласта представлено сравнение запасов нефти в моделях двойной и эквивалентной ей одинарной среды с помощью кросс-плота. Из рисунка 2 следует, что отклонение составляет не более 1 %.

Таким образом, с учетом полученных результатов проверки обоснованности формулы (5), ее можно использовать в инженерных расчетах для определения сжимаемости системы трещин при известных значениях сжимаемости поровой матрицы и эффективной (общей) сжимаемости пустотного пространства горной породы. Очевидно, что в этом случае эффективную (общую) сжимаемость можно получить в процессе адаптации истории разработки на фактические данные в модели одинарной среды. При этом для определения эффективной пористости необходимо знать значения пористости матрицы и системы трещин. Матричную пористость можно определить по результатам керновых исследований. Что же касается трещинной пористости, то в этом случае необходим комплексный подход при ее определении. Согласно работе [1] измеряемая акустическим каротажем пористость является пористостью матрицы. Пористость, оцениваемая по нейтрон-нейтронному каротажу, отражает суммарный вклад матричной и трещинной пористости. Поэтому трещинная пористость может быть оценена по данным комплекса ГИС, исходя из следующей формулы [1]:

где m^ннк, m^ак — соответственно значения пористости по нейтрон-нейтронному и акустическому каротажам, полученные после совместной интерпретации комплекса ГИС с учетом соответствующих поправок на глинистость, на уплотнение и углеводороды, а также с сопоставлением измерений, полученных на керне. Та кже как в случае с формулами (5) и (6), формула (9) применяется для определения стартовой точки и диапазона наиболее вероятных значений пористости системы трещин в зоне дренирования скважин на этапе предварительной адаптации ГДМ. То есть само же значение пористости трещины, определенное по формуле (9), корректируется впоследствии в процессе адаптации ГДМ на фактические данные, что снимает неопределенность с этого параметра.
Учитывая вышесказанное, нахождение сжимаемости системы трещин можно свести к следующей блок-схеме, представленной на рисунке 3.

Данная блок-схема может быть использована как для определения параметров системы трещин в целом по залежи на основе осредненных параметров пористости и сжимаемости матрицы, так и для определения параметров системы трещин в зоне дренирования каждой конкретной скважины, с последующим осреднением на всю залежь.
В заключении следует отметить, что предлагаемый в данной статье подход (блок-схема на рисунке 3 с определяющими ее формулами (3), (5) и (6)) к снижению неопределенности параметров системы трещин, таких как пористость и сжимаемость, является элементом общей методики адаптации гидродинамических моделей двойной среды при проектировании разработки карбонатных коллекторов, предложенной в публикации [11].